高中数学必修二必备知识手册2024一轮复习

【平面向量及其应用】

1、在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量。

2、通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度。向量可以用有向线段来表示。

3、向量的大小称为向量的长度（或称模），记作。长度为0的向量叫做零向量，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。

5、我们规定：对于零向量与任意向量，我们规定。

6、一般地，我们有，当且仅当、方向相同时等号成立。

7、我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量。减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，即。

8、一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当＞0时，的方向与的方向相同；当＜0时，的方向与的方向相反。

9、向量的运算律：

设，为实数，那么

（1）；     （2）；        （3）。

对于向量，，，和实数，有

（1）；          （2）   （3）

特别地，我们有，。

10、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有。

11、向量（≠0）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。根据这个定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。

12、已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB＝（0≤≤）叫做向量与的夹角。显然，当＝0时，与同向；当＝时，与反向。如果与的夹角为，我们说与垂直，记作⊥。

13、已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即。

14、设，是两个非零向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。

15、对于任意的，向量在向量上的投影向量是。

16、向量数量积有如下重要性质：

设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

（1）；

（2）；

（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或。

（4）。

17、平面向量基本定理   如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。

18、若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

19、两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。

20、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

21、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

22、向量，（≠0）共线的充要条件是。

23、两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。由此可得，

（1）若，则，或。

（2）设，，则。

24、设，都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得。

25、余弦定理   三角形中任何一边的平方，等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。公式及推论如下：

26、正弦定理   在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，其中R指三角形外接圆的半径。

【复数】

1、我们把形如（，）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所构成的集合C＝{|，}叫做复数集。

2、复数通常用字母表示，即（，）。以后不作特殊说明时，复数都有，，其中的和分别叫做复数的实部与虚部。

3、在复数集C＝{|，}中任取两个数，（，，，），我们规定：

与相等当且仅当且。

4、对于复数（，），当且仅当＝0时，它是实数；当且仅当＝＝0时，它是实数0；当≠0时，它叫做虚数；当＝0且≠0时，它叫做纯虚数。

5、建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。