专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

 

模型来源

真题现模型 1

提炼模型 4

模型拓展 5

模型运用 6

模型1.倍长中线模型 6

模型2.截长补短模型

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倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。

倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。

截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。

 

（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．

【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．

【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）

 

 

 

 

 

（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．

【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．

请回答：（1）小红证明的判定定理是：      ．（2）的取值范围是           

【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．

 

 

 

 

 

 

 

 

1.截长补短模型

截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。                 结论：AB＋BD＝AC。

 

证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。

∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）

∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，

∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。

法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。

∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）

∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，

∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。

2-1.倍长中线模型（中线型）

 

条件：AD为△ABC的中线。                 结论：

证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。

∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）

2-2.倍长类中线模型（中点型）

 

条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。  结论：△EDB≌△FDC。

证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。

∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）

 

2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）

 

条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。

证明：延长FE，交DC的延长线于点G。

∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）

若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。

 

模型1.截长补短模型

例1（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．

 

(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）

(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．

 

 

 

 

例2（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．

【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；

【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．

 

 

 

 

例3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系．

【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段）

【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】条件下，完成下列问题：

(1)求证：；(2)求证：；(3)试探究之间的数量关系，并说明理由．

 

 

 

 

 

例4（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D．(1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积．