高中数学必修一必备知识手册2024一轮复习

【集合与常用逻辑用语】

1、一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

3、如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作；如果不是集合A中的元素，就说不属于集合A，记作。

4、数学中一些常用的数集及其记法

5、把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{   }”括起来表示集合的方法叫做列举法。

6、一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法。

7、一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含于A”）。

8、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B。也就是说，若且，则A＝B。

9、一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。

10、如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。

11、一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作（读作“A并B”），即

。

12、一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作（读作“A交B”），即

。

13、一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即∁_UA，即

∁_UA＝。

14、集合之间的基本关系

（1）任何一个集合是它本身的子集，即；

（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么。

（3）；；

（4）；。

15、一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出。这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。

16、将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题。

17、如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件。显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件。

18、短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。通常，将含有变量的语句，，，…表示，变量的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个，成立”可用符号简记为。

19、短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素，成立”可用符号简记为。

20、一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可。也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”，也就是“不成立”。通常，用“”表示“不成立”。

21、对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题：，它的否定：

也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。

22、一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需要把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可。也就是说，假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在，使成立”，也就是“不成立”。

23、对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：

存在量词命题：，它的否定：

也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。

【一元二次函数、方程和不等式】

1、一般地，，有，当且仅当时，等号成立。

特别地，如果，，我们用、分别代替上式中的，，可得

，

当且仅当时，等号成立。我们把它称为基本不等式。

其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数。

2、基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、基本不等式的适用要求是公式中的，，而且它们的和或者积为定值，最后是存在使得等号成立的数值，我们把这三个特征简称为“一正二定三相等”。

4、基本不等式的推广

如果，，， ，当且仅当时等号成立。

如果，，，， ，当且仅当时等号成立。

5、不等式有如下性质：

6、一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是

或，

其中，，均为常数，。